\begin{cases} \sqrt{x+2}+y^{2}=6 \\ y=\sqrt{x+1} \end{cases}

Выполним решение системы уравнений.

Выразим из второго уравнения x:

$$y = \sqrt{x+1}$$ $$y^2 = x+1$$ $$x = y^2-1$$

Подставим значение x в первое уравнение системы:

$$\sqrt{y^2-1+2}+y^2=6$$ $$\sqrt{y^2+1}+y^2=6$$ $$\sqrt{y^2+1}=6-y^2$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$y^2+1=(6-y^2)^2$$ $$y^2+1=36-12y^2+y^4$$ $$y^4-13y^2+35=0$$

Введем замену $$t = y^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2-13t+35=0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-13)^2-4\cdot1\cdot35 = 169-140 = 29$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{13+\sqrt{29}}{2}$$ $$t_2 = \frac{13-\sqrt{29}}{2}$$

Вернемся к замене:

$$y^2 = \frac{13+\sqrt{29}}{2}$$ $$y = \pm\sqrt{\frac{13+\sqrt{29}}{2}}$$

И

$$y^2 = \frac{13-\sqrt{29}}{2}$$ $$y = \pm\sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}}$$

Найдем соответствующие значения x:

$$x = y^2-1$$

Для $$y = \pm\sqrt{\frac{13+\sqrt{29}}{2}}$$:

$$x = \frac{13+\sqrt{29}}{2}-1 = \frac{11+\sqrt{29}}{2}$$

Для $$y = \pm\sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}}$$:

$$x = \frac{13-\sqrt{29}}{2}-1 = \frac{11-\sqrt{29}}{2}$$

Проверим, какие решения удовлетворяют исходной системе, учитывая, что $$y = \sqrt{x+1} \ge 0$$:

1) $$y = \sqrt{\frac{13+\sqrt{29}}{2}}$$, $$x = \frac{11+\sqrt{29}}{2}$$

Проверка первого уравнения:

$$\sqrt{\frac{11+\sqrt{29}}{2}+2} + (\sqrt{\frac{13+\sqrt{29}}{2}})^2 = \sqrt{\frac{15+\sqrt{29}}{2}} + \frac{13+\sqrt{29}}{2} = 6$$

2) $$y = \sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}}$$, $$x = \frac{11-\sqrt{29}}{2}$$

Проверка первого уравнения:

$$\sqrt{\frac{11-\sqrt{29}}{2}+2} + (\sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}})^2 = \sqrt{\frac{15-\sqrt{29}}{2}} + \frac{13-\sqrt{29}}{2} = 6$$

Оба решения подходят.

Ответ: $$\left(\frac{11+\sqrt{29}}{2}; \sqrt{\frac{13+\sqrt{29}}{2}}\right)$$, $$\left(\frac{11-\sqrt{29}}{2}; \sqrt{\frac{13-\sqrt{29}}{2}}\right)$$