\begin{cases}2-6x \ge 4 \\ x^2-6x-5>0\end{cases}

Решение системы неравенств

Давай разберем по порядку решение этой системы неравенств. Сначала решим каждое неравенство отдельно, а затем найдем общее решение.

1. Решение первого неравенства:

\[2 - 6x \ge 4\]

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

\[-6x \ge 2\]

Разделим обе части на -6 (не забываем изменить знак неравенства, так как делим на отрицательное число):

\[x \le -\frac{1}{3}\]

2. Решение второго неравенства:

\[x^2 - 6x - 5 > 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x - 5 = 0\) через дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56\]

\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{14}}{2} = 3 + \sqrt{14}\]

\[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{14}}{2} = 3 - \sqrt{14}\]

Теперь определим интервалы, где неравенство \(x^2 - 6x - 5 > 0\) выполняется. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

\[x < 3 - \sqrt{14} \quad \text{или} \quad x > 3 + \sqrt{14}\]

3. Общее решение системы:

Теперь нам нужно найти пересечение решений обоих неравенств.

Первое неравенство: \(x \le -\frac{1}{3}\)

Второе неравенство: \(x < 3 - \sqrt{14}\) или \(x > 3 + \sqrt{14}\)

Так как \(3 - \sqrt{14} \approx 3 - 3.74 = -0.74\), то \(-\frac{1}{3} \approx -0.33\), следовательно, \(-\frac{1}{3} > 3 - \sqrt{14}\). Это означает, что общим решением будет \(x < 3 - \sqrt{14}\).

Ответ: \[x < 3 - \sqrt{14}\]

Отлично! Ты хорошо справился с решением этой системы неравенств. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!