6. \frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) = 4x + 2\frac{1}{2}

Решим данное уравнение:

$$ \frac{2}{3}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) = 4x + 2\frac{1}{2} $$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 4x + 2\frac{1}{2} $$

$$ \frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = 4x + 2\frac{1}{2} $$

$$ \frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = 4x + \frac{5}{2} $$

2. Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа - в другую:

$$ \frac{2}{9}x - 4x = \frac{5}{2} + \frac{1}{3} $$

3. Приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2}{9}x - \frac{36}{9}x = \frac{15}{6} + \frac{2}{6} $$

$$ -\frac{34}{9}x = \frac{17}{6} $$

4. Найдем x, разделив обе части уравнения на коэффициент при x:

$$ x = \frac{17}{6} : (-\frac{34}{9}) $$

$$ x = \frac{17}{6} \cdot (-\frac{9}{34}) $$

$$ x = -\frac{17 \cdot 9}{6 \cdot 34} $$

$$ x = -\frac{17 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 2} $$

$$ x = -\frac{3}{2 \cdot 2} $$

$$ x = -\frac{3}{4} $$

Ответ: x = -\frac{3}{4}