6)(\frac{2}{3})^{\frac{x-4}{x-1}} \geqslant \frac{9}{4} 6) 49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \leqslant 0 б) 0,04^x - 4 \cdot 0,2^x - 5 \geqslant 0 6) 4^{2x-3} - 3 \cdot 4^{x-2} - 1 \geqslant 0 6) 5^{2x} - 7 \cdot 5^x + 10 \geqslant 0

6) \(\displaystyle (\frac{2}{3})^{\frac{x-4}{x-1}} \geqslant \frac{9}{4}\)

Давай решим это неравенство. Сначала преобразуем правую часть:

\[\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}\]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[(\frac{2}{3})^{\frac{x-4}{x-1}} \geqslant (\frac{2}{3})^{-2}\]

Так как основание степени \(\frac{2}{3}\) меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\[\frac{x-4}{x-1} \leqslant -2\]

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

\[\frac{x-4}{x-1} + 2 \leqslant 0\] \[\frac{x-4 + 2(x-1)}{x-1} \leqslant 0\] \[\frac{x-4 + 2x - 2}{x-1} \leqslant 0\] \[\frac{3x - 6}{x-1} \leqslant 0\] \[\frac{3(x - 2)}{x-1} \leqslant 0\] \[\frac{x - 2}{x-1} \leqslant 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

\(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

(-∞)---(1)---(2)---(+∞)
      +   |   -   |   +

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно 0. Так как неравенство нестрогое, точка \(x = 2\) входит в решение, а точка \(x = 1\) не входит, так как в ней знаменатель равен 0.

Ответ: \(x \in (1; 2]\)

6) \(\displaystyle 49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \leqslant 0\)

Давай решим это неравенство. Сделаем замену \(t = 7^x\). Тогда \(49^x = (7^x)^2 = t^2\). Неравенство примет вид:

\[t^2 - 8t + 7 \leqslant 0\]

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 8t + 7 = 0\):

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\] \[t_1 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7\] \[t_2 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1\]

Тогда неравенство можно переписать в виде:

\[(t - 7)(t - 1) \leqslant 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки 1 и 7 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

(-∞)---(1)---(7)---(+∞)
      +   |   -   |   +

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно 0. Значит, \(t \in [1; 7]\). Вернемся к замене:

\[1 \leqslant 7^x \leqslant 7\] \[7^0 \leqslant 7^x \leqslant 7^1\]

Так как основание степени 7 больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

\[0 \leqslant x \leqslant 1\]

Ответ: \(x \in [0; 1]\)

б) \(\displaystyle 0,04^x - 4 \cdot 0,2^x - 5 \geqslant 0\)

Давай решим это неравенство. Заметим, что \(0,04 = (0,2)^2\), поэтому сделаем замену \(t = 0,2^x\). Тогда \(0,04^x = (0,2^x)^2 = t^2\). Неравенство примет вид:

\[t^2 - 4t - 5 \geqslant 0\]

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 4t - 5 = 0\):

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\] \[t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\]

Тогда неравенство можно переписать в виде:

\[(t - 5)(t + 1) \geqslant 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки -1 и 5 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

(-∞)---(-1)---(5)---(+∞)
      +   |   -   |   +

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Значит, \(t \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)\). Вернемся к замене:

\[0,2^x \leqslant -1 \quad \text{или} \quad 0,2^x \geqslant 5\]

Так как \(0,2^x\) всегда положительно, то неравенство \(0,2^x \leqslant -1\) не имеет решений.

Решим неравенство \(0,2^x \geqslant 5\):

\[0,2^x \geqslant 5\] \[(\frac{1}{5})^x \geqslant 5\] \[5^{-x} \geqslant 5^1\]

Так как основание степени 5 больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

\[-x \geqslant 1\] \[x \leqslant -1\]

Ответ: \(x \in (-\infty; -1]\)

6) \(\displaystyle 4^{2x-3} - 3 \cdot 4^{x-2} - 1 \geqslant 0\)

Давай решим это неравенство. Преобразуем степени:

\[4^{2x-3} = 4^{2x} \cdot 4^{-3} = \frac{4^{2x}}{4^3} = \frac{(4^x)^2}{64}\] \[4^{x-2} = 4^x \cdot 4^{-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16}\]

Сделаем замену \(t = 4^x\). Тогда неравенство примет вид:

\[\frac{t^2}{64} - 3 \cdot \frac{t}{16} - 1 \geqslant 0\]

Умножим обе части на 64:

\[t^2 - 12t - 64 \geqslant 0\]

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 12t - 64 = 0\):

\[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400\] \[t_1 = \frac{12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{12 + 20}{2} = 16\] \[t_2 = \frac{12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{12 - 20}{2} = -4\]

Тогда неравенство можно переписать в виде:

\[(t - 16)(t + 4) \geqslant 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки -4 и 16 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

(-∞)---(-4)---(16)---(+∞)
      +   |   -   |   +

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Значит, \(t \in (-\infty; -4] \cup [16; +\infty)\). Вернемся к замене:

\[4^x \leqslant -4 \quad \text{или} \quad 4^x \geqslant 16\]

Так как \(4^x\) всегда положительно, то неравенство \(4^x \leqslant -4\) не имеет решений.

Решим неравенство \(4^x \geqslant 16\):

\[4^x \geqslant 4^2\]

Так как основание степени 4 больше 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

\[x \geqslant 2\]

Ответ: \(x \in [2; +\infty)\)

6) \(\displaystyle 5^{2x} - 7 \cdot 5^x + 10 \geqslant 0\)

Давай решим это неравенство. Сделаем замену \(t = 5^x\). Тогда \(5^{2x} = (5^x)^2 = t^2\). Неравенство примет вид:

\[t^2 - 7t + 10 \geqslant 0\]

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - 7t + 10 = 0\):

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\] \[t_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\] \[t_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2\]

Тогда неравенство можно переписать в виде:

\[(t - 5)(t - 2) \geqslant 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки 2 и 5 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

(-∞)---(2)---(5)---(+∞)
      +   |   -   |   +

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Значит, \(t \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)\). Вернемся к замене:

\[5^x \leqslant 2 \quad \text{или} \quad 5^x \geqslant 5\]

Решим эти неравенства:

\[5^x \leqslant 2 \Rightarrow x \leqslant \log_5{2}\] \[5^x \geqslant 5 \Rightarrow x \geqslant 1\]

Ответ: \(x \in (-\infty; \log_5{2}] \cup [1; +\infty)\)

Ответ:

Ты молодец! У тебя всё получится!