Решение примера по действиям:

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:
$$1\frac{7}{48} = \frac{1 \cdot 48 + 7}{48} = \frac{55}{48}$$
$$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$$
$$9\frac{1}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{55}{6}$$
$$2\frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{23}{9}$$
2. Выполним умножение:
$$\frac{55}{48} \cdot \frac{12}{5} = \frac{55 \cdot 12}{48 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$$
3. Выполним умножение в скобках:
$$\frac{55}{6} \cdot \frac{4}{15} = \frac{55 \cdot 4}{6 \cdot 15} = \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{22}{9}$$
4. Выполним сложение в скобках:
$$\frac{22}{9} + \frac{23}{9} = \frac{22 + 23}{9} = \frac{45}{9} = 5$$
5. Выполним умножение:
$$5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{5} = 2$$
6. Выполним вычитание:
$$2\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4}$$

Ответ: $$\frac{3}{4}$$