1) \frac{1 + 2 \sin a \cos a}{(\sin a + \cos a)^2} = 1; 2) \frac{\sin^2 a - \cos^2 a + 1}{\sin^2 a} = 2; 3) (2-\sin a)(2+\sin a)+(2-\cos a)(2+\cos a)=7; 4) \sin^4a-\cos^4a=\sin^2a-\cos^2a.

Разберем каждое из предложенных тригонометрических выражений и упростим их, используя основные тригонометрические тождества.

1) \(\frac{1 + 2 \sin a \cos a}{(\sin a + \cos a)^2} = 1\)

• Раскроем знаменатель: \((\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a\)
• Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\): \(\sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = 1 + 2 \sin a \cos a\)
• Получаем: \(\frac{1 + 2 \sin a \cos a}{1 + 2 \sin a \cos a} = 1\)

2) \(\frac{\sin^2 a - \cos^2 a + 1}{\sin^2 a} = 2\)

• Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), выразим \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a\): \(\frac{\sin^2 a - (1 - \sin^2 a) + 1}{\sin^2 a} = 2\)
• Упростим числитель: \(\sin^2 a - 1 + \sin^2 a + 1 = 2\sin^2 a\)
• Получаем: \(\frac{2\sin^2 a}{\sin^2 a} = 2\)

3) \((2-\sin a)(2+\sin a)+(2-\cos a)(2+\cos a)=7\)

• Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((4 - \sin^2 a) + (4 - \cos^2 a) = 7\)
• Упростим: \(8 - (\sin^2 a + \cos^2 a) = 7\)
• Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\): \(8 - 1 = 7\)

4) \(\sin^4a-\cos^4a=\sin^2a-\cos^2a\)

• Разложим левую часть, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \((\sin^2 a - \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a - \cos^2 a\)
• Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\): \((\sin^2 a - \cos^2 a) imes 1 = \sin^2 a - \cos^2 a\)

Все предложенные выражения тождественно равны.

Ответ: все выражения являются тождествами.