2\frac{2a}{a-5} - \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} =

Для решения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (a-5)(a+5).

Исходное выражение:

$$ 2\frac{2a}{a-5} - \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} $$

Представим первую дробь как неправильную:

$$ \frac{2(a-5) + 2a}{a-5} - \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{2a - 10 + 2a}{a-5} - \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{4a - 10}{a-5} - \frac{5}{a+5} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{(4a - 10)(a+5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{5(a-5)}{(a-5)(a+5)} + \frac{2a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{(4a^2 + 20a - 10a - 50) - (5a - 25) + 2a^2}{(a-5)(a+5)} $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ \frac{4a^2 + 10a - 50 - 5a + 25 + 2a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{6a^2 + 5a - 25}{(a-5)(a+5)} $$

Разложим числитель на множители. Решим квадратное уравнение 6a² + 5a - 25 = 0:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * (-25) = 25 + 600 = 625

a₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 25) / (2 * 6) = 20 / 12 = 5 / 3

a₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 25) / (2 * 6) = -30 / 12 = -5 / 2

Тогда 6a² + 5a - 25 = 6(a - 5/3)(a + 5/2) = (3a - 5)(2a + 5)

Исходное выражение теперь можно записать как:

$$ \frac{(3a - 5)(2a + 5)}{(a-5)(a+5)} $$

Ответ:

$$\frac{6a^2 + 5a - 25}{(a-5)(a+5)} = \frac{(3a - 5)(2a + 5)}{(a-5)(a+5)}$$

Ответ: $$\frac{(3a-5)(2a+5)}{(a-5)(a+5)}$$