\frac{9}{log_3 x} - log_3(\frac{9}{x}) \le \frac{34}{log_3 x^2}

Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: \[log_3(\frac{9}{x}) = log_3 9 - log_3 x = 2 - log_3 x\] \[log_3 x^2 = 2 log_3 x\]

Шаг 2: Перепишем неравенство с учетом преобразований: \[\frac{9}{log_3 x} - (2 - log_3 x) \le \frac{34}{2 log_3 x}\] \[\frac{9}{log_3 x} - 2 + log_3 x \le \frac{17}{log_3 x}\]

Шаг 3: Введем замену переменной: Пусть \(t = log_3 x\). Тогда неравенство примет вид: \[\frac{9}{t} - 2 + t \le \frac{17}{t}\]

Шаг 4: Умножим обе части неравенства на \(t\). Важно учесть знак \(t\), поэтому рассмотрим два случая:

• Случай 1: \(t > 0\) (то есть \(log_3 x > 0\), что эквивалентно \(x > 1\)) \[9 - 2t + t^2 \le 17\] \[t^2 - 2t - 8 \le 0\] \[(t - 4)(t + 2) \le 0\] Решением этого неравенства является \(-2 \le t \le 4\). Учитывая, что \(t > 0\), получаем \(0 < t \le 4\).
• Случай 2: \(t < 0\) (то есть \(log_3 x < 0\), что эквивалентно \(0 < x < 1\)) \[9 - 2t + t^2 \ge 17\] \[t^2 - 2t - 8 \ge 0\] \[(t - 4)(t + 2) \ge 0\] Решением этого неравенства является \(t \le -2\) или \(t \ge 4\). Учитывая, что \(t < 0\), получаем \(t \le -2\).

Шаг 5: Вернемся к переменной \(x\):

• Случай 1: \(0 < log_3 x \le 4\) \(1 < x \le 3^4\) \(1 < x \le 81\)
• Случай 2: \(log_3 x \le -2\) \(x \le 3^{-2}\) \(x \le \frac{1}{9}\) Учитывая, что \(0 < x < 1\), получаем \(0 < x \le \frac{1}{9}\)