45) \frac{q^{20n} : q^0}{q^{13n} : q^{8n} \cdot q^{11n}} = ?

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$.
2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
3. Любое число в степени 0 равно 1: $$a^0 = 1$$.

Тогда:

$$\frac{q^{20n} : q^0}{q^{13n} : q^{8n} \cdot q^{11n}} = \frac{q^{20n - 0}}{q^{13n} : (q^{8n} \cdot q^{11n})} = \frac{q^{20n}}{q^{13n} : q^{8n+11n}} = \frac{q^{20n}}{q^{13n} : q^{19n}} = \frac{q^{20n}}{q^{13n - 19n}} = \frac{q^{20n}}{q^{-6n}} = q^{20n - (-6n)} = q^{20n + 6n} = q^{26n}$$

Ответ: $$q^{26n}$$