Решение уравнения

Для решения уравнения $$\frac{7}{x-3}+1=\frac{18}{x^2-6x+9}$$ выполним следующие шаги:

1. Преобразуем знаменатель правой части, заметив, что $$x^2-6x+9 = (x-3)^2$$. Тогда уравнение примет вид:

   $$\frac{7}{x-3}+1=\frac{18}{(x-3)^2}$$

2. Приведем левую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{7 + (x-3)}{x-3} = \frac{18}{(x-3)^2}$$ $$\frac{x+4}{x-3} = \frac{18}{(x-3)^2}$$

3. Умножим обе части уравнения на $$(x-3)^2$$, чтобы избавиться от знаменателей (с учетом ОДЗ: $$x
   eq 3$$):

   $$(x+4)(x-3) = 18$$

4. Раскроем скобки:

   $$x^2 - 3x + 4x - 12 = 18$$ $$x^2 + x - 12 = 18$$

5. Перенесем все члены в левую часть уравнения:

   $$x^2 + x - 12 - 18 = 0$$ $$x^2 + x - 30 = 0$$

6. Решим квадратное уравнение $$x^2 + x - 30 = 0$$ через дискриминант:

   Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121$$

   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

7. Проверим полученные корни на ОДЗ (область допустимых значений): $$x
   eq 3$$. Оба корня $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = -6$$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -6$$.