\frac{x^2-9}{\log_{\frac{1}{3}}(x+4)} \geq 0

Давай решим это неравенство. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под логарифмом должно быть больше нуля:

\[x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4\]

2. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, но у нас основание \[\frac{1}{3}\] – это константа, удовлетворяющая условиям.

Теперь решим неравенство. Разложим числитель на множители:

\[\frac{(x-3)(x+3)}{\log_{\frac{1}{3}}(x+4)} \geq 0\]

Заметим, что \[\log_{\frac{1}{3}}(x+4)\] меняет знак, когда \[x+4 = 1\] (т.е. \[x = -3\]), потому что основание логарифма меньше 1.

Определим, когда логарифм положителен и отрицателен:

• \[\log_{\frac{1}{3}}(x+4) > 0\] при \[0 < x+4 < 1\] или \[-4 < x < -3\]
• \[\log_{\frac{1}{3}}(x+4) < 0\] при \[x+4 > 1\] или \[x > -3\]

Теперь рассмотрим случаи:

1. Когда \[\log_{\frac{1}{3}}(x+4) > 0\] (т.е. \[-4 < x < -3\]), числитель должен быть неотрицательным:\[(x-3)(x+3) \geq 0\]Это выполняется при \[x \leq -3\] или \[x \geq 3\]В интервале \[-4 < x < -3\] это выполняется только при \[x = -3\] (но в знаменателе 0, поэтому исключаем).
2. Когда \[\log_{\frac{1}{3}}(x+4) < 0\] (т.е. \[x > -3\]), числитель должен быть неположительным:\[(x-3)(x+3) \leq 0\]Это выполняется при \[-3 \leq x \leq 3\]В интервале \[x > -3\] это выполняется при \[-3 < x \leq 3\]

Объединяя решения, получаем:

\[-3 < x \leq 3\]

Учитывая ОДЗ \[x > -4\]: \[-3 < x \leq 3\]

Ответ: (-3; 3]