Решение уравнения

Для решения уравнения $$\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$$, сделаем замену переменной.

Пусть $$y = \frac{1}{x-2}$$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - y - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$. Для этого найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Теперь найдем корни $$y_1$$ и $$y_2$$:

$$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Теперь вернемся к замене и найдем значения $$x$$.

Случай 1: $$y = 3$$

$$\frac{1}{x-2} = 3$$ $$1 = 3(x-2)$$ $$1 = 3x - 6$$ $$3x = 7$$ $$x = \frac{7}{3}$$

Случай 2: $$y = -2$$

$$\frac{1}{x-2} = -2$$ $$1 = -2(x-2)$$ $$1 = -2x + 4$$ $$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для $$x = \frac{7}{3}$$:

$$\frac{1}{(\frac{7}{3}-2)^2} - \frac{1}{\frac{7}{3}-2} - 6 = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} - \frac{1}{\frac{1}{3}} - 6 = \frac{1}{\frac{1}{9}} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$$

Проверка для $$x = \frac{3}{2}$$:

$$\frac{1}{(\frac{3}{2}-2)^2} - \frac{1}{\frac{3}{2}-2} - 6 = \frac{1}{(\frac{-1}{2})^2} - \frac{1}{\frac{-1}{2}} - 6 = \frac{1}{\frac{1}{4}} - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$$

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $$x_1 = \frac{7}{3}$$, $$x_2 = \frac{3}{2}$$