\frac{3x^2 - 18x + 27}{x + 7} \leq 0

Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup \{3\} \)

Пошаговое решение:

Шаг 1: Упрощаем числитель

Вынесем общий множитель 3 из числителя:

\[3(x^2 - 6x + 9) \leq 0\]

Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом:

\[3(x - 3)^2 \leq 0\]

Шаг 2: Анализ числителя

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((x - 3)^2 \geq 0\). Следовательно, неравенство \(3(x - 3)^2 \leq 0\) выполняется только при \(x = 3\).

Шаг 3: Анализ знаменателя

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[x + 7
eq 0\]\[x
eq -7\]

Шаг 4: Решение неравенства

Рассмотрим неравенство:

\[\frac{3(x - 3)^2}{x + 7} \leq 0\]

Так как \((x - 3)^2 \geq 0\), то знак дроби определяется знаком знаменателя \(x + 7\). Для того чтобы дробь была меньше или равна нулю, необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным, то есть \(x + 7 < 0\), или чтобы числитель был равен нулю, то есть \(x = 3\).

Решим неравенство для знаменателя:

\[x + 7 < 0\]\[x < -7\]

Шаг 5: Объединение решений

Итак, у нас есть два условия:

1. \(x < -7\)
2. \(x = 3\)

Объединяем эти решения. Значение \(x = 3\) является решением, так как при этом значении числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, и вся дробь равна нулю, что удовлетворяет условию \(\leq 0\).

Итог:

Решением неравенства является объединение интервала \(x < -7\) и точки \(x = 3\):

\[x \in (-\infty, -7) \cup \{3\}\]

Финальный ответ:

Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup \{3\} \)

Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup \{3\} \)