\frac{3x^2-12}{(x^2+1)(2-x)} \ge 0

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Сначала разложим числитель на множители:

\[3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)\]

Тогда неравенство можно переписать как:

\[\frac{3(x - 2)(x + 2)}{(x^2 + 1)(2 - x)} \ge 0\]

Шаг 2: Упростим неравенство

Заметим, что \(2 - x = -(x - 2)\). Тогда неравенство можно переписать как:

\[\frac{3(x - 2)(x + 2)}{-(x^2 + 1)(x - 2)} \ge 0\]

Сократим \((x - 2)\), но учтем, что \(x
eq 2\):

\[\frac{3(x + 2)}{-(x^2 + 1)} \ge 0\]

Умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства:

\[\frac{3(x + 2)}{(x^2 + 1)} \le 0\]

Шаг 3: Анализ знаменателя

Знаменатель \(x^2 + 1\) всегда положителен, так как \(x^2 \ge 0\) для любого \(x\), следовательно, \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\). Поэтому знак дроби определяется только числителем.

Шаг 4: Решение неравенства

Неравенство выполняется, когда числитель меньше или равен нулю:

\[3(x + 2) \le 0\] \[x + 2 \le 0\] \[x \le -2\]

Шаг 5: Учет исключения

Мы сократили \((x - 2)\), поэтому нужно исключить \(x = 2\) из решения. Однако, так как в итоге получилось \(x \le -2\), то \(x = 2\) и так не входит в решение.

Шаг 6: Итоговое решение

Решением неравенства является \(x \le -2\). Также необходимо учесть, что при x=2 исходное выражение не определено, но в преобразованном неравенстве мы потеряли эту точку. Поэтому необходимо проверить, является ли x=2 решением исходного неравенства. Подставим x=2 в исходное неравенство:

\[\frac{3(2)^2-12}{((2)^2+1)(2-2)} \ge 0\] \[\frac{0}{5 \cdot 0} \ge 0\]

Выражение не определено, так как деление на ноль не допускается. Однако, рассмотрим случай, когда x приближается к 2. Пусть x = 2 - \(\epsilon\), где \(\epsilon\) - очень малое положительное число. Тогда:

\[\frac{3(2-\epsilon)^2-12}{((2-\epsilon)^2+1)(2-(2-\epsilon))} \ge 0\] \[\frac{3(4 - 4\epsilon + \epsilon^2) - 12}{(4 - 4\epsilon + \epsilon^2 + 1)(\epsilon)} \ge 0\] \[\frac{-12\epsilon + 3\epsilon^2}{(5 - 4\epsilon + \epsilon^2)(\epsilon)} \ge 0\] \[\frac{\epsilon(-12 + 3\epsilon)}{(5 - 4\epsilon + \epsilon^2)(\epsilon)} \ge 0\] \[\frac{-12 + 3\epsilon}{5 - 4\epsilon + \epsilon^2} \ge 0\]

Так как \(\epsilon\) очень мало, числитель отрицателен, а знаменатель положителен, следовательно, выражение отрицательно. Значит, x=2 не является решением.