-\frac{12}{x^{2}+4x-8} \leq 0

Для решения неравенства необходимо определить, когда дробь меньше или равна нулю.

Рассмотрим неравенство: $$-\frac{12}{x^{2}+4x-8} \leq 0$$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$$\frac{12}{x^{2}+4x-8} \geq 0$$

Так как числитель дроби всегда положителен (12 > 0), то знак дроби зависит только от знака знаменателя:

$$x^{2}+4x-8 > 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^{2}+4x-8 = 0$$

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48$$

Корни уравнения:

$$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{48}}{2} = \frac{-4 + 4\sqrt{3}}{2} = -2 + 2\sqrt{3}$$ $$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{48}}{2} = \frac{-4 - 4\sqrt{3}}{2} = -2 - 2\sqrt{3}$$

Теперь определим интервалы, на которых $$x^{2}+4x-8 > 0$$:

Интервалы: $$(-\infty; -2 - 2\sqrt{3}), (-2 - 2\sqrt{3}; -2 + 2\sqrt{3}), (-2 + 2\sqrt{3}; +\infty)$$.

Проверим знак на каждом интервале:

• $$x < -2 - 2\sqrt{3}$$, например, x = -6: $$(-6)^{2}+4(-6)-8 = 36-24-8 = 4 > 0$$
• $$-2 - 2\sqrt{3} < x < -2 + 2\sqrt{3}$$, например, x = 0: $$(0)^{2}+4(0)-8 = -8 < 0$$
• $$x > -2 + 2\sqrt{3}$$, например, x = 2: $$(2)^{2}+4(2)-8 = 4+8-8 = 4 > 0$$

Следовательно, неравенство $$x^{2}+4x-8 > 0$$ выполняется при $$\ x < -2 - 2\sqrt{3}$$ или $$x > -2 + 2\sqrt{3}$$.

При этом нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в нуль, то есть корни уравнения $$x^{2}+4x-8 = 0$$.

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in (-\infty; -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}; +\infty)$$.