\frac{(x-4)^2(x+3)}{3-2x} \ge 0

Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции, приравняв числитель к нулю:

$$ (x-4)^2(x+3) = 0 $$

$$ x-4 = 0 \Rightarrow x = 4 $$ (кратности 2)

$$ x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 $$

2. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

$$ 3-2x = 0 $$

$$ 2x = 3 $$

$$ x = \frac{3}{2} = 1.5 $$

3. Отметим найденные точки на числовой прямой:

        +             -             +              -     
--------------------]----------------(----------------[-------------------->
       -3            1.5            4

4. Определим знаки на каждом интервале:

• $$x < -3$$: выберем $$x = -4$$. Тогда $$\frac{(-4-4)^2(-4+3)}{3-2(-4)} = \frac{64(-1)}{3+8} = \frac{-64}{11} < 0$$
• $$-3 < x < 1.5$$: выберем $$x = 0$$. Тогда $$\frac{(0-4)^2(0+3)}{3-2(0)} = \frac{16(3)}{3} = 16 > 0$$
• $$1.5 < x < 4$$: выберем $$x = 2$$. Тогда $$\frac{(2-4)^2(2+3)}{3-2(2)} = \frac{4(5)}{3-4} = \frac{20}{-1} = -20 < 0$$
• $$x > 4$$: выберем $$x = 5$$. Тогда $$\frac{(5-4)^2(5+3)}{3-2(5)} = \frac{1(8)}{3-10} = \frac{8}{-7} < 0$$

5. Решением неравенства являются интервалы, где функция больше или равна нулю. Учитывая, что $$x = 4$$ является решением, получаем:

$$ x \in [-3; 1.5) \cup \{4\} $$

Ответ: $$ x \in [-3; 1.5) \cup \{4\} $$