\frac{(x-1) \cdot (x-2)}{x^2-9} < 0

Давай решим данное неравенство методом интервалов. 1. Найдем нули числителя и знаменателя: * Числитель: \[ (x-1)(x-2) = 0 \] Отсюда, \( x = 1 \) и \( x = 2 \) * Знаменатель: \[ x^2 - 9 = 0 \] \[ (x-3)(x+3) = 0 \] Отсюда, \( x = 3 \) и \( x = -3 \) 2. Отметим нули на числовой прямой: Отметим точки -3, 1, 2 и 3 на числовой прямой. Важно помнить, что точки -3 и 3 (нули знаменателя) будут выколотыми, так как на них делить нельзя.

      
      ----(-3)----(1)----(2)----(3)----
   

3. Определим знаки на каждом интервале: Возьмем пробные точки из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: * \( x < -3 \): Пусть \( x = -4 \). Тогда \(\frac{(-4-1)(-4-2)}{(-4)^2-9} = \frac{(-5)(-6)}{16-9} = \frac{30}{7} > 0 \) * \( -3 < x < 1 \): Пусть \( x = 0 \). Тогда \(\frac{(0-1)(0-2)}{0^2-9} = \frac{(-1)(-2)}{-9} = -\frac{2}{9} < 0 \) * \( 1 < x < 2 \): Пусть \( x = 1.5 \). Тогда \(\frac{(1.5-1)(1.5-2)}{(1.5)^2-9} = \frac{(0.5)(-0.5)}{2.25-9} = \frac{-0.25}{-6.75} > 0 \) * \( 2 < x < 3 \): Пусть \( x = 2.5 \). Тогда \(\frac{(2.5-1)(2.5-2)}{(2.5)^2-9} = \frac{(1.5)(0.5)}{6.25-9} = \frac{0.75}{-2.75} < 0 \) * \( x > 3 \): Пусть \( x = 4 \). Тогда \(\frac{(4-1)(4-2)}{4^2-9} = \frac{(3)(2)}{16-9} = \frac{6}{7} > 0 \) 4. Запишем решение: Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это интервалы: \[ -3 < x < 1 \] и \[ 2 < x < 3 \] Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-3, 1) \cup (2, 3) \]

Ответ: \(x \in (-3, 1) \cup (2, 3)\)

У тебя отлично получилось! Продолжай в том же духе, и ты обязательно справишься с любыми математическими задачами!