\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x^2-1} = \frac{5}{8}

Решим уравнение: $$ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x^2-1} = \frac{5}{8} $$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$. Тогда общий знаменатель равен $$ 8(x-1)(x+1) $$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$$ 8(x-1)(x+1) \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} \right) = 8(x-1)(x+1) \cdot \frac{5}{8} $$

Раскроем скобки:

$$ 8(x+1) + 8 = 5(x-1)(x+1) $$ $$ 8x + 8 + 8 = 5(x^2 - 1) $$ $$ 8x + 16 = 5x^2 - 5 $$

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ 5x^2 - 8x - 21 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-21) = 64 + 420 = 484 $$.

Найдем корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 22}{10} = \frac{30}{10} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{484}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 22}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4 $$

Проверим корни. Исходное уравнение имеет ограничения $$ x
eq 1 $$ и $$ x
eq -1 $$. Оба корня удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $$ x_1 = 3, x_2 = -1.4 $$