Решение уравнения

Дано уравнение: $$\frac{1}{3x+1} + \frac{1}{9x^{2}+6x+1} = 2$$

Заметим, что $$9x^2 + 6x + 1 = (3x+1)^2$$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$$\frac{1}{3x+1} + \frac{1}{(3x+1)^2} = 2$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3x+1}{(3x+1)^2} + \frac{1}{(3x+1)^2} = 2$$ $$\frac{3x+1+1}{(3x+1)^2} = 2$$ $$\frac{3x+2}{(3x+1)^2} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$(3x+1)^2$$:

$$3x+2 = 2(3x+1)^2$$ $$3x+2 = 2(9x^2 + 6x + 1)$$ $$3x+2 = 18x^2 + 12x + 2$$

Перенесем все члены в правую часть:

$$0 = 18x^2 + 12x + 2 - 3x - 2$$ $$0 = 18x^2 + 9x$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$9x(2x+1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $$9x = 0 \Rightarrow x = 0$$
2. $$2x+1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$

Проверим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю:

$$3x+1
eq 0 \Rightarrow x
eq -\frac{1}{3}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x = 0, x = -\frac{1}{2}$$