Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика7) $$\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x^2 - 6x} = \frac{72}{x^3 - 36x}$$;
Ответ:
Решение:
Для начала, давай перепишем уравнение, разложив знаменатели на множители, чтобы упростить его:
\[\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x(x - 6)} = \frac{72}{x(x^2 - 36)} \]Заметим, что x² - 36 можно разложить как разность квадратов:
\[x^2 - 36 = (x + 6)(x - 6)\]Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x(x - 6)} = \frac{72}{x(x + 6)(x - 6)}\]Теперь определим общий знаменатель для всех дробей. Это будет x(x + 6)(x - 6) . Приведем каждую дробь к этому знаменателю:
\[\frac{x(x - 6)}{x(x + 6)(x - 6)} + \frac{3(x + 6)}{x(x - 6)(x + 6)} = \frac{72}{x(x + 6)(x - 6)}\]Упростим числители:
\[\frac{x^2 - 6x}{x(x + 6)(x - 6)} + \frac{3x + 18}{x(x - 6)(x + 6)} = \frac{72}{x(x + 6)(x - 6)}\]Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить числители:
\[\frac{x^2 - 6x + 3x + 18}{x(x + 6)(x - 6)} = \frac{72}{x(x + 6)(x - 6)}\]Упростим числитель:
\[\frac{x^2 - 3x + 18}{x(x + 6)(x - 6)} = \frac{72}{x(x + 6)(x - 6)}\]Так как знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
\[x^2 - 3x + 18 = 72\]Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[x^2 - 3x + 18 - 72 = 0\] \[x^2 - 3x - 54 = 0\]Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант D:
\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225\]Теперь найдем корни уравнения:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{225}}{2(1)} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{225}}{2(1)} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]Получили два возможных решения: x = 9 и x = -6 . Однако, нам нужно проверить, не являются ли эти корни посторонними, учитывая исходное уравнение.
Если x = -6 , то знаменатель x + 6 обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, x = -6 является посторонним корнем.
Если x = 9 , то ни один из знаменателей не обращается в ноль, поэтому x = 9 является решением.
Ответ: x = 9
