$$\frac{x-4}{x+1}-\frac{10}{x^{2}-1}=\frac{4}{9}$$

Решим уравнение:

$$\frac{x-4}{x+1}-\frac{10}{x^{2}-1}=\frac{4}{9}$$

ОДЗ: $$x
eq -1, x
eq 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x-4)(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{10}{x^{2}-1}=\frac{4}{9}$$

$$\frac{x^2 -x -4x +4 -10}{x^2-1} = \frac{4}{9}$$

$$\frac{x^2 -5x -6}{x^2-1} = \frac{4}{9}$$

Умножим обе части уравнения на $$9(x^2-1)$$:

$$9(x^2 -5x -6) = 4(x^2-1)$$

$$9x^2 -45x -54 = 4x^2 -4$$

$$5x^2 -45x -50 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$x^2 -9x -10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-9)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$$

$$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9+11}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9-11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = -1$$ не входит в ОДЗ.

Следовательно, корень уравнения $$x = 10$$

Ответ: 10