\frac{3x+4}{x^2-16}-\frac{x^2}{x^2=16}

Марина, здравствуйте! Разберусь с вашим примером.

Для начала, условие должно быть записано корректно, знак равно (=) в знаменателе недопустим. Полагаю, что пример должен выглядеть так:

$$\frac{3x+4}{x^2-16}-\frac{x^2}{x^2-16}$$

Давайте упростим данное выражение:

1. Убедимся, что знаменатели дробей одинаковы. В данном случае знаменатель обеих дробей равен $$x^2 - 16$$.

2. Объединим дроби, записав разность числителей над общим знаменателем:

   $$\frac{3x+4-x^2}{x^2-16}$$

3. Упростим числитель, переставив члены в порядке убывания степеней:

   $$\frac{-x^2+3x+4}{x^2-16}$$

4. Разложим числитель и знаменатель на множители. Сначала вынесем минус из числителя:

   $$-\frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$$

5. Теперь разложим квадратный трехчлен $$x^2-3x-4$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$x^2-3x-4=0$$.

   Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $$a = 1$$, $$b = -3$$, $$c = -4$$.

   Подставим значения:

   $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$

   Итак, корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

   Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

   $$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$$

6. Разложим знаменатель как разность квадратов:

   $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

7. Теперь перепишем выражение с разложенными на множители числителем и знаменателем:

   $$-\frac{(x - 4)(x + 1)}{(x - 4)(x + 4)}$$

8. Сократим дробь на общий множитель $$(x - 4)$$, при условии, что $$x
   eq 4$$:

   $$-\frac{x + 1}{x + 4}$$

9. Раскроем скобки, чтобы записать результат в более привычном виде:

   $$-\frac{x + 1}{x + 4} = \frac{-x - 1}{x + 4}$$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$$\frac{-x - 1}{x + 4}$$

Ответ: $$\frac{-x - 1}{x + 4}$$