\frac{x+8}{x-6} \geqslant 0

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя:

   $$x + 8 = 0$$ $$x = -8$$

2. Найдем нули знаменателя:

   $$x - 6 = 0$$ $$x = 6$$

3. Отметим найденные точки на числовой прямой. Точка -8 будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка 6 - выколотой, так как на нее делить нельзя.

        ----------------(-8)----------------(6)-----------------
       

4. Определим знаки на каждом из полученных интервалов. Для этого подставим в выражение \(\frac{x+8}{x-6}\) любое число из каждого интервала.

   • Интервал $$\left(-\infty; -8\right]$$. Подставим x = -10:

     $$\frac{-10 + 8}{-10 - 6} = \frac{-2}{-16} = \frac{1}{8} > 0$$ - знак «+»

   • Интервал $$\left[-8; 6\right)$$. Подставим x = 0:

     $$\frac{0 + 8}{0 - 6} = \frac{8}{-6} = - \frac{4}{3} < 0$$ - знак «-»

   • Интервал $$\left(6; +\infty\right)$$. Подставим x = 10:

     $$\frac{10 + 8}{10 - 6} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} > 0$$ - знак «+»

        +++++++(-8)-------(6)+++++++++
       

5. Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $$\left(-\infty; -8\right] \cup \left(6; +\infty\right)$$