2) \frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}

Для решения данного уравнения необходимо привести все дроби к общему знаменателю, который будет равен (x-5)(x+1). Учитываем, что x ≠ 5 и x ≠ -1.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на (x-5), а числитель и знаменатель третьей дроби на (x+1):

$$\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x(x-5)}{(x+1)(x-5)} = \frac{3(x+1)}{(x-5)(x+1)}$$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можем сложить числители:

$$10 + x(x-5) = 3(x+1)$$\

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$10 + x^2 - 5x = 3x + 3$$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$$x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0$$

$$x^2 - 8x + 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом.

По теореме Виета сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Значит, корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 7.

$$x_1 = 1$$

$$x_2 = 7$$

Оба корня не равны 5 и -1, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 7

Перевод (RU)

Solution of the equation:

First, reduce all fractions to a common denominator, which will be (x-5)(x+1). We take into account that x ≠ 5 and x ≠ -1.

Multiply the numerator and denominator of the second fraction by (x-5), and the numerator and denominator of the third fraction by (x+1):

Now that all fractions have the same denominator, we can add the numerators:

Expand the brackets and simplify the equation:

Move all the terms to the left side of the equation:

Solve the quadratic equation. To do this, you can use the Vieta's theorem or the discriminant.

According to Vieta's theorem, the sum of the roots is 8, and the product is 7. Therefore, the roots of the equation are: x₁ = 1 and x₂ = 7.

Both roots are not equal to 5 and -1, so they are solutions to the original equation.

Answer: x₁ = 1, x₂ = 7