\frac{y}{6} - \frac{y}{y-1} = 3

Ответ: 6

Пошаговое решение:

Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю. \[\frac{y}{6} - \frac{y}{y-1} = 3\] Умножим обе части уравнения на 6(y-1), чтобы избавиться от знаменателей: \[y(y-1) - 6y = 3 \cdot 6(y-1)\] \[y^2 - y - 6y = 18(y-1)\] \[y^2 - 7y = 18y - 18\] Шаг 2: Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим. \[y^2 - 7y - 18y + 18 = 0\] \[y^2 - 25y + 18 = 0\] Шаг 3: Решим квадратное уравнение. У нас получилось квадратное уравнение вида: \[y^2 - 25y + 18 = 0\] Здесь a = 1, b = -25, c = 18. Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, произведение корней равно c/a. В нашем случае произведение корней равно: \[\frac{c}{a} = \frac{18}{1} = 18\] Ой, что-то пошло не так, ищем ошибку. Умножим обе части уравнения на 6(y-1), чтобы избавиться от знаменателей: \[y(y-1) - 6y = 3 \cdot 6(y-1)\] \[y^2 - y - 6y = 18(y-1)\] \[y^2 - 7y = 18y - 18\] \[y^2 - 25y + 18 = 0\] У нас получилось квадратное уравнение вида: \(\[y^2 - 25y + 18 = 0\]\) Здесь a = 1, b = -25, c = 18. Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант: D = b² - 4ac = (-25)² - 4 * 1 * 18 = 625 - 72 = 553 y₁ = (25 + √553)/2 y₂ = (25 - √553)/2 Шаг 5: Проверим ОДЗ. Выражение имеет смысл, если знаменатели не равны нулю. В исходном уравнении знаменатели 6 и y-1. Знаменатель 6 никогда не равен нулю, поэтому нужно проверить только знаменатель y-1. y-1 ≠ 0 y ≠ 1 Оба корня не равны 1, поэтому оба подходят. Шаг 6: Найдем произведение корней. По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения ay² + by + c = 0 равно c/a. В нашем уравнении y² - 25y + 18 = 0, a = 1, c = 18. Следовательно, произведение корней равно 18. Сделаем проверку: y₁ \(\cdot\) y₂ = ((25 + √553)/2) \(\cdot\) ((25 - √553)/2) y₁ \(\cdot\) y₂ = (25² - (√553)²)/4 y₁ \(\cdot\) y₂ = (625 - 553)/4 y₁ \(\cdot\) y₂ = 72/4 = 18 Шаг 7: Перепроверим решение, используя другой подход. \[\frac{y}{6} - \frac{y}{y-1} = 3\]\[\frac{y(y-1) - 6y}{6(y-1)} = 3\]\[y^2 - y - 6y = 18(y-1)\]\[y^2 - 7y = 18y - 18\]\[y^2 - 25y + 18 = 0\] Согласно теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения y² - 25y + 18 = 0 равно свободному члену, то есть 18. Всё верно, мы нашли произведение корней. Шаг 8: ОДЗ: y ≠ 1 Однако, возможно есть другой корень. Домножим обе части на 6(y-1) y(y-1) - 6y = 18(y-1) y^2 - y - 6y = 18y - 18 y^2 - 7y - 18y + 18 = 0 y^2 - 25y + 18 = 0 Найдем корни: y1 = (25 + √553)/2 и y2 = (25 - √553)/2. Оба корня не равны 1. Произведение корней равно 18. Шаг 9: Подставим и проверим, не будет ли в знаменателе 0. В итоге, получаем 18

Ответ: 18