1.$$\int sin^3 5x cos 5x dx$$ 2. $$\int x^3 cos(x^4) dx.$$

Ответ: 1. \(\frac{1}{20}sin^4(5x) + C\), 2. \(\frac{1}{4}sin(x^4) + C\)

Решение:

1. \(\int sin^3 5x \cdot cos 5x dx\)

• Пусть \(u = sin(5x)\), тогда \(du = 5cos(5x)dx\) или \(cos(5x)dx = \frac{1}{5}du\).
• Заменим переменные в интеграле:

\[\int sin^3(5x)cos(5x)dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{5}du = \frac{1}{5}\int u^3 du\]

• Вычислим интеграл:

\[\frac{1}{5}\int u^3 du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{20}u^4 + C\]

• Вернемся к исходной переменной:

\[\frac{1}{20}u^4 + C = \frac{1}{20}sin^4(5x) + C\]

2. \(\int x^3 cos(x^4) dx\)

• Пусть \(u = x^4\), тогда \(du = 4x^3dx\) или \(x^3dx = \frac{1}{4}du\).
• Заменим переменные в интеграле:

\[\int x^3 cos(x^4) dx = \int cos(u) \cdot \frac{1}{4}du = \frac{1}{4}\int cos(u) du\]

• Вычислим интеграл:

\[\frac{1}{4}\int cos(u) du = \frac{1}{4}sin(u) + C\]

• Вернемся к исходной переменной:

\[\frac{1}{4}sin(u) + C = \frac{1}{4}sin(x^4) + C\]

Ответ: 1. \(\frac{1}{20}sin^4(5x) + C\), 2. \(\frac{1}{4}sin(x^4) + C\)