\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} sin 2x dx =

Вычислим определенный интеграл:

1. Найдем первообразную функции $$f(x) = sin 2x$$:

   Первообразная для $$sin 2x$$ равна $$-\frac{1}{2}cos 2x$$.

2. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

   Верхний предел: $$-\frac{1}{2}cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}cos(\pi) = -\frac{1}{2}(-1) = \frac{1}{2}$$

   Нижний предел: $$-\frac{1}{2}cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2}cos(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

3. Вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

   $$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $$\frac{3}{4}$$