\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi/2} \frac{x \cdot \sin(\theta) \cdot \ln(1 + x^2 \cos^2(\theta))}{(1 + x^2 \sin^2(\theta))^{3/2}} d\theta dx

К сожалению, я не могу решить данный интеграл, так как для этого требуются специальные знания и умения в области высшей математики. Этот интеграл может потребовать применения численных методов или специальных функций для его решения. Ответ: Невозможно вычислить в рамках школьной программы.