\int_0^{\pi/3} \frac{\sin 2x}{\cos^3 x} dx

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной и тригонометрическим тождеством.

1. Преобразуем интеграл, используя тригонометрическое тождество$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$Тогда интеграл примет вид:$$\int_0^{\pi/3} \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^3 x} dx = 2 \int_0^{\pi/3} \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$$
2. Сделаем замену переменной:Пусть$$u = \cos x$$Тогда$$du = -\sin x dx$$Или$$-\ du = \sin x dx$$
3. Изменим пределы интегрирования:Когда$$x = 0$$,$$u = \cos 0 = 1$$Когда$$x = \frac{\pi}{3}$$,$$u = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$
4. Подставим замену в интеграл:$$2 \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{-du}{u^2} = -2 \int_1^{\frac{1}{2}} u^{-2} du$$
5. Вычислим интеграл:$$-2 \int_1^{\frac{1}{2}} u^{-2} du = -2 \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_1^{\frac{1}{2}} = 2 \left[ \frac{1}{u} \right]_1^{\frac{1}{2}} = 2 \left( \frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{1}{1} \right) = 2 (2 - 1) = 2$$

Ответ: 2