\int_0^5 \frac{dx}{2x + \sqrt{3x+1}};

Пошаговое решение:

Шаг 1: Упростим интеграл с помощью замены переменной. Пусть \(u = \sqrt{3x+1}\), тогда \(u^2 = 3x+1\) и \(x = \frac{u^2-1}{3}\). Тогда \(dx = \frac{2u}{3} du\). Шаг 2: Подставим новые переменные в интеграл: \[\int \frac{dx}{2x + \sqrt{3x+1}} = \int \frac{\frac{2u}{3}}{2(\frac{u^2-1}{3}) + u} du = \int \frac{\frac{2u}{3}}{\frac{2u^2-2}{3} + u} du = \int \frac{\frac{2u}{3}}{\frac{2u^2-2+3u}{3}} du\] \[= \int \frac{2u}{2u^2+3u-2} du\] Шаг 3: Разложим квадратный трехчлен в знаменателе: Квадратный трехчлен \(2u^2+3u-2\) можно разложить на множители. Найдем корни уравнения \(2u^2+3u-2 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25\). Корни \(u_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2}\) и \(u_2 = \frac{-3-5}{4} = -2\). Тогда \(2u^2+3u-2 = 2(u - \frac{1}{2})(u + 2) = (2u-1)(u+2)\). Шаг 4: Интеграл после разложения: \[\int \frac{2u}{(2u-1)(u+2)} du\] Шаг 5: Разложим дробь на элементарные: Представим дробь в виде суммы элементарных дробей: \[\frac{2u}{(2u-1)(u+2)} = \frac{A}{2u-1} + \frac{B}{u+2}\] Умножим обе части на \((2u-1)(u+2)\): \[2u = A(u+2) + B(2u-1)\] Чтобы найти A и B, подставим значения u: Пусть \(u = -2\), тогда \(-4 = A(0) + B(-4-1)\), \(-4 = -5B\), \(B = \frac{4}{5}\). Пусть \(u = \frac{1}{2}\), тогда \(1 = A(\frac{1}{2}+2) + B(0)\), \(1 = A(\frac{5}{2})\), \(A = \frac{2}{5}\). Шаг 6: Интеграл после разложения на элементарные дроби: \[\int \frac{2u}{(2u-1)(u+2)} du = \int (\frac{\frac{2}{5}}{2u-1} + \frac{\frac{4}{5}}{u+2}) du = \frac{2}{5} \int \frac{1}{2u-1} du + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u+2} du\] Шаг 7: Вычислим интегралы: \[\frac{2}{5} \int \frac{1}{2u-1} du = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln|2u-1| = \frac{1}{5} \ln|2u-1|\] \[\frac{4}{5} \int \frac{1}{u+2} du = \frac{4}{5} \ln|u+2|\] Шаг 8: Вернемся к переменной x: \[\frac{1}{5} \ln|2\sqrt{3x+1}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{3x+1}+2|\] Шаг 9: Вычислим определенный интеграл в пределах от 0 до 5: \[\int_0^5 \frac{dx}{2x + \sqrt{3x+1}} = \left[ \frac{1}{5} \ln|2\sqrt{3x+1}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{3x+1}+2| \right]_0^5\] \[= \frac{1}{5} \ln|2\sqrt{3(5)+1}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{3(5)+1}+2| - (\frac{1}{5} \ln|2\sqrt{3(0)+1}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{3(0)+1}+2|) \] \[= \frac{1}{5} \ln|2\sqrt{16}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{16}+2| - (\frac{1}{5} \ln|2\sqrt{1}-1| + \frac{4}{5} \ln|\sqrt{1}+2|) \] \[= \frac{1}{5} \ln|8-1| + \frac{4}{5} \ln|4+2| - (\frac{1}{5} \ln|2-1| + \frac{4}{5} \ln|1+2|) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7) + \frac{4}{5} \ln(6) - (\frac{1}{5} \ln(1) + \frac{4}{5} \ln(3)) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7) + \frac{4}{5} \ln(6) - \frac{4}{5} \ln(3) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7) + \frac{4}{5} (\ln(6) - \ln(3)) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7) + \frac{4}{5} \ln(\frac{6}{3}) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7) + \frac{4}{5} \ln(2) \] \[= \frac{1}{5} (\ln(7) + 4\ln(2)) \] \[= \frac{1}{5} (\ln(7) + \ln(2^4)) \] \[= \frac{1}{5} (\ln(7) + \ln(16)) \] \[= \frac{1}{5} \ln(7 \cdot 16) = \frac{1}{5} \ln(112)\]

Ответ: \(\frac{1}{5} \ln(112)\)