12. $$\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^n}}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{5^n}}$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: \[S = \frac{b_1}{1 - q},\]где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии.
2. В числителе:
   • \( b_1 = 1 \)
   • \( q = \frac{1}{3} \)
   Сумма равна:\[S_1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}.\]
3. В знаменателе:
   • \( b_1 = 1 \)
   • \( q = \frac{1}{5} \)
   Сумма равна:\[S_2 = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.\]
4. Теперь найдем предел, разделив \( S_1 \) на \( S_2 \):\[\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^n}}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{5^n}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.\]

Ответ: $$\frac{6}{5}$$