1. $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3^{n+1}+5^{n+1}}{3^{n}+5^{n}}\right)$$

Смотри, тут всё просто: нам нужно вычислить предел выражения.

Пошаговое решение:

1. Разделим числитель и знаменатель на \( 5^n \):\[\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}+5^{n+1}}{3^{n}+5^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n+1}}{5^n} + \frac{5^{n+1}}{5^n}}{\frac{3^n}{5^n} + \frac{5^n}{5^n}}\]
2. Упростим выражение:\[\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 3^n + 5 \cdot 5^n}{3^n + 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n + 5}{\left(\frac{3}{5}\right)^n + 1}\]
3. Теперь, когда \( n \to \infty \), \( \left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0 \), так как \( \frac{3}{5} < 1 \). Следовательно:\[\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n + 5}{\left(\frac{3}{5}\right)^n + 1} = \frac{3 \cdot 0 + 5}{0 + 1} = \frac{5}{1} = 5\]

Ответ: 5