$$\log_{0,4} |x-5| \le | \log_{0,4} |7-x||$$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть область определения и учесть свойства логарифмов.

1. Область определения: Оба выражения под знаком логарифма должны быть положительными. Также, аргументы модулей должны быть отличны от нуля, так как модуль не может быть отрицательным.

• $$|x-5| > 0$$ => $$x
  eq 5$$
• $$|7-x| > 0$$ => $$x
  eq 7$$

2. Учитывая, что основание логарифма $$0,4 < 1$$, функция $$\log_{0,4} x$$ является убывающей. Следовательно, если $$\log_{0,4} a \le \log_{0,4} b$$, то $$a \ge b$$ при $$a, b > 0$$. Поэтому, наше неравенство примет вид: $$|x-5| \ge |7-x|$$.

3. Решение неравенства с модулями: $$|x-5| \ge |7-x|$$. Чтобы решить это неравенство, можно рассмотреть несколько случаев или возвести обе части в квадрат, что уберет модули: $$(x-5)^2 \ge (7-x)^2$$ $$x^2 - 10x + 25 \ge 49 - 14x + x^2$$ $$4x \ge 24$$ $$x \ge 6$$

4. Объединяем решение с областью определения: Решение $$x \ge 6$$, исключая точки $$x = 5$$ и $$x = 7$$. Поскольку $$x=5$$ и так исключается из решения $$x \ge 6$$, остается только исключить $$x=7$$.

5. Итоговый ответ:

Решением неравенства является $$x \in [6; 7) \cup (7; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in [6; 7) \cup (7; +\infty)$$