8\n∑ (-1)^(n+1) / (ln(n+1))^n\nn=1

Для решения данного задания необходимо вычислить сумму ряда.

Ряд имеет вид: $$\sum_{n=1}^{8} \frac{(-1)^{n+1}}{(\ln(n+1))^n}$$

Разложим ряд:

$$ \frac{(-1)^2}{(\ln 2)^1} + \frac{(-1)^3}{(\ln 3)^2} + \frac{(-1)^4}{(\ln 4)^3} + \frac{(-1)^5}{(\ln 5)^4} + \frac{(-1)^6}{(\ln 6)^5} + \frac{(-1)^7}{(\ln 7)^6} + \frac{(-1)^8}{(\ln 8)^7} + \frac{(-1)^9}{(\ln 9)^8} $$

$$ = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{1}{(\ln 4)^3} - \frac{1}{(\ln 5)^4} + \frac{1}{(\ln 6)^5} - \frac{1}{(\ln 7)^6} + \frac{1}{(\ln 8)^7} - \frac{1}{(\ln 9)^8} $$

• n = 1: $$\frac{1}{\ln 2} ≈ \frac{1}{0.6931} ≈ 1.4427$$
• n = 2: $$\frac{1}{(\ln 3)^2} ≈ \frac{1}{(1.0986)^2} ≈ \frac{1}{1.2069} ≈ 0.8286$$
• n = 3: $$\frac{1}{(\ln 4)^3} ≈ \frac{1}{(1.3863)^3} ≈ \frac{1}{2.6651} ≈ 0.3752$$
• n = 4: $$\frac{1}{(\ln 5)^4} ≈ \frac{1}{(1.6094)^4} ≈ \frac{1}{6.74} ≈ 0.1484$$
• n = 5: $$\frac{1}{(\ln 6)^5} ≈ \frac{1}{(1.7918)^5} ≈ \frac{1}{17.27} ≈ 0.0579$$
• n = 6: $$\frac{1}{(\ln 7)^6} ≈ \frac{1}{(1.9459)^6} ≈ \frac{1}{39.87} ≈ 0.0251$$
• n = 7: $$\frac{1}{(\ln 8)^7} ≈ \frac{1}{(2.0794)^7} ≈ \frac{1}{88.45} ≈ 0.0113$$
• n = 8: $$\frac{1}{(\ln 9)^8} ≈ \frac{1}{(2.1972)^8} ≈ \frac{1}{194.44} ≈ 0.0051$$

Сумма ряда:

$$1.4427 - 0.8286 + 0.3752 - 0.1484 + 0.0579 - 0.0251 + 0.0113 - 0.0051 ≈ 0.8800$$

Ответ: 0.88