"6\n1. В треугольнике АВС известно,\nчто LC = 90, AC = Sim, ВС = вам.\nНайдите; 1) ctg B; 2) Sin A.\n2. В прямоуг, треугольнике ABC\n(LC=90°) usteomolo, umo AC = 12 cell,\nto A = 0,8. Найдите катет ВС.\n③ Найдите значение выра\ncos² 30°+ sin² 52° + cos 2520\n2\n4. Основание равнобедренного\nтреугольника равно 10 см,\nа боковая сторона сторона - 13 см.\nНайдите синус, косинус,\nтангенс\nи котангенс угла\nмежду боковой стороной.\nтреугольника\nверенной\nLL\nше\nвыестой, про-\nк его основанию.\n⑤. Высота ВДАВС демет сторо-\nA D\nну Ас на отрезки Ади CD,\nHB = 12cm, L A = 60;L CBS = 30°\nНайдите отpejon CD."

Задача 1

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°), где AC = 8 см, BC = 6 см, нужно найти ctg B и sin A.

• Шаг 1: Находим гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}.\]

• Шаг 2: Находим ctg B:

\[ctg B = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75.\]

• Шаг 3: Находим sin A:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6.\]

Ответ:

1) ctg B = 0.75; 2) sin A = 0.6

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известно, что AC = 12 см, tg A = 0.8. Найдите катет BC.

• Шаг 1: Используем определение тангенса угла A:

\[tg A = \frac{BC}{AC}.\]

• Шаг 2: Выражаем BC через tg A и AC:

\[BC = AC \cdot tg A = 12 \cdot 0.8 = 9.6 \text{ см}.\]

Ответ:

BC = 9.6 см

Задача 3

Найдите значение выражения cos²30° + sin²52° + cos²52°.

• Шаг 1: Упрощаем выражение, используя тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1:

\[cos^2 30^\circ + sin^2 52^\circ + cos^2 52^\circ = cos^2 30^\circ + (sin^2 52^\circ + cos^2 52^\circ) = cos^2 30^\circ + 1.\]

• Шаг 2: Подставляем значение cos 30°:

\[cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Тогда:

\[cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.\]

• Шаг 3: Считаем:

\[\frac{3}{4} + 1 = \frac{3}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4} = 1.75.\]

Ответ:

1.75

Задача 4

Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона - 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к его основанию.

• Шаг 1: Обозначим треугольник ABC, где AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Проведем высоту BH к основанию AC.

Так как треугольник равнобедренный, высота BH является и медианой, следовательно, AH = HC = 5 см.

• Шаг 2: Найдем высоту BH по теореме Пифагора из треугольника ABH:

\[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.\]

• Шаг 3: Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной AB и высотой BH (угол ABH).

\[sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}.\]

\[cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}.\]

\[tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{12}.\]

\[cot(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5} = 2.4.\]

Ответ:

sin(∠ABH) = 5/13, cos(∠ABH) = 12/13, tan(∠ABH) = 5/12, cot(∠ABH) = 2.4

Задача 5

Высота BD в треугольнике ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°. Найдите отрезок CD.

• Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABD:

\[\angle ABD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.\]

• Шаг 2: Найдем AD:

\[AD = AB \cdot cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}.\]

• Шаг 3: Найдем BD:

\[BD = AB \cdot sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}.\]

• Шаг 4: Рассмотрим треугольник CBD:

\[\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.\]

• Шаг 5: Найдем CD:

\[CD = BD \cdot ctg(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см}.\]

Ответ:

CD = 6 см