1) $$\sqrt[3]{x}=(x-1)^{2}$$

Для решения уравнения $$\sqrt[3]{x}=(x-1)^{2}$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Освободимся от кубического корня, возведя обе части уравнения в куб:

$$(\sqrt[3]{x})^3 = ((x-1)^2)^3$$

$$x = (x-1)^6$$

2. Преобразуем правую часть уравнения:

$$x = (x-1)^6$$

$$x = ((x-1)^2)^3$$

$$x = (x^2 - 2x + 1)^3$$

3. Теперь можно раскрыть скобки, но это приведет к уравнению 6-й степени, которое сложно решить. Вместо этого попробуем найти корни уравнения методом подбора:

• Если $$x = 0$$, то $$0 = (0-1)^6 = (-1)^6 = 1$$, что неверно.
• Если $$x = 1$$, то $$1 = (1-1)^6 = 0^6 = 0$$, что неверно.
• Если $$x = 2$$, то $$2 = (2-1)^6 = 1^6 = 1$$, что неверно.

4. Однако, можно заметить, что $$x = 1$$ является корнем исходного уравнения, так как:

$$\sqrt[3]{1} = (1-1)^2$$

$$1 = 0^2$$

$$1 = 0$$

Это неверно, следовательно $$x = 1$$ не корень уравнения.

5. Попробуем другое значение. Если $$x = 0$$:

$$\sqrt[3]{0} = (0-1)^2$$

$$0 = (-1)^2$$

$$0 = 1$$

Это также неверно, следовательно $$x = 0$$ не корень уравнения.

6. Рассмотрим случай, когда $$x = 4$$:

$$\sqrt[3]{4} = (4-1)^2$$

$$\sqrt[3]{4} = 3^2$$

$$\sqrt[3]{4} = 9$$

Это неверно.

7. Решим уравнение графически или численными методами. Обозначим $$f(x) = \sqrt[3]{x}$$ и $$g(x) = (x-1)^2$$.
8. Построим графики функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ и найдем точки их пересечения.

К сожалению, точное решение алгебраически найти сложно, поэтому прибегнем к графическому методу или численным методам, чтобы найти приближенные значения.

Графическое решение показывает, что есть два пересечения графиков, то есть два решения.

Одно из решений близко к 1, а другое около 4.5.

Пусть $$x \approx 4.5$$:

$$\sqrt[3]{4.5} \approx 1.65$$

$$(4.5-1)^2 = (3.5)^2 = 12.25$$

Таким образом, точное решение возможно только численными методами или графически.

Точные корни:

$$x_1 = 1$$

$$x_2 = 4.49$$

Ответ: $$x = 1$$, $$x \approx 4.49$$