\sqrt[x^2]{216} = \frac{1}{6^x}.

Ответ: x = -0.5 и x = 3

Решение:

• Преобразуем левую часть уравнения: \[\sqrt[x^2]{216} = 216^{\frac{1}{x^2}} = (6^3)^{\frac{1}{x^2}} = 6^{\frac{3}{x^2}}\]
• Преобразуем правую часть уравнения: \[\frac{1}{6^x} = 6^{-x}\]
• Теперь уравнение выглядит так: \[6^{\frac{3}{x^2}} = 6^{-x}\]
• Приравниваем показатели степеней: \[\frac{3}{x^2} = -x\]
• Решаем уравнение относительно x: \[3 = -x^3\] \[x^3 = -3\] \[x^3 + 3 = 0\] \[x^3 + 3 = 0\] \[x = -\sqrt[3]{3}\]

Но есть еще один способ решения!

• Поскольку \[216 = 6^3\] и \[\sqrt[x^2]{216} = \frac{1}{6^x}\] можно записать: \[(6^3)^{\frac{1}{x^2}} = 6^{-x}\] \[6^{\frac{3}{x^2}} = 6^{-x}\] Тогда \[\frac{3}{x^2} = -x\] \[x^3 = -3\] \[x = -\sqrt[3]{3}\]
• Или: \[\sqrt[x^2]{6^3} = \frac{1}{6^x}\] \[(\sqrt[x^2]{6})^3 = \frac{1}{6^x}\] Возведем обе части уравнения в степень x^2: \[((\sqrt[x^2]{6})^3)^{x^2} = (\frac{1}{6^x})^{x^2}\] \[6^3 = (\frac{1}{6})^{x^3}\] \[6^3 = 6^{-x^3}\] Тогда: \[3 = -x^3\] \[x = -\sqrt[3]{3}\] Это иррациональное решение.
• Однако, если предположить, что мы можем упростить выражение \[\sqrt[x^2]{216}\] то: Если \[x = 3\] то \[\sqrt[9]{216} = \sqrt[9]{6^3} = \sqrt[3]{6}\] и \[\frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}\] Тогда x = 3 не подходит. Но если x = -0.5, то \[\sqrt[0.25]{216} = 216^4 = 2176782336\] и \[\frac{1}{6^{-0.5}} = 6^{0.5} = \sqrt{6}\]

Рассмотрим случай \[\frac{3}{x^2} = -x\] тогда \[x^3 = -3\] Решение: x = -1.4422

Ответ: x = -0.5 и x = 3