$$\sqrt{12}\cos^2 \frac{5\pi}{12} - \sqrt{3}$$.

Смотри, как это работает:

Пошаговое решение:

1. Преобразуем \(\cos^2 \frac{5\pi}{12}\) используя формулу понижения степени: \[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.\]Тогда:\[\cos^2 \frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \cos \frac{5\pi}{6}}{2}.\]
2. Теперь найдем значение \(\cos \frac{5\pi}{6}\). Угол \(\frac{5\pi}{6}\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Также \(\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}\), поэтому: \[\cos \frac{5\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
3. Подставим это значение обратно в формулу понижения степени: \[\cos^2 \frac{5\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}.\]
4. Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: \[\sqrt{12}\cos^2 \frac{5\pi}{12} - \sqrt{3} = \sqrt{12} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}.\]
5. Упростим выражение: \[\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\] Тогда:\[2\sqrt{3} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} - \sqrt{3}.\]
6. Продолжим упрощение: \[\frac{2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5.\]

Ответ: -1.5