\sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}} - \sqrt{5}

Давай решим это выражение по шагам. Сначала упростим выражение под корнем: \[\sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}} - \sqrt{5}\] Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \(1+\sqrt{5}\): \[\sqrt{\frac{(4-8\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}} - \sqrt{5}\] Раскроем скобки в числителе и знаменателе: \[\sqrt{\frac{4 + 4\sqrt{5} - 8\sqrt{5} - 8 \cdot 5}{1 - 5}} - \sqrt{5}\] \[\sqrt{\frac{4 - 4\sqrt{5} - 40}{-4}} - \sqrt{5}\] \[\sqrt{\frac{-36 - 4\sqrt{5}}{-4}} - \sqrt{5}\] Разделим числитель на знаменатель: \[\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}\] Чтобы упростить это выражение, предположим, что \(\sqrt{9 + \sqrt{5}}\) можно представить в виде \(a + b\sqrt{5}\), где \(a\) и \(b\) - рациональные числа. Тогда: \[\sqrt{9 + \sqrt{5}} = a + b\sqrt{5}\] Возведем обе части в квадрат: \[9 + \sqrt{5} = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2\] Отсюда получаем систему уравнений: \[a^2 + 5b^2 = 9\] \[2ab = 1\] Из второго уравнения выразим \(b\) через \(a\): \[b = \frac{1}{2a}\] Подставим это в первое уравнение: \[a^2 + 5\left(\frac{1}{2a}\right)^2 = 9\] \[a^2 + \frac{5}{4a^2} = 9\] Умножим все на \(4a^2\): \[4a^4 + 5 = 36a^2\] \[4a^4 - 36a^2 + 5 = 0\] Пусть \(x = a^2\), тогда: \[4x^2 - 36x + 5 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[x = \frac{-(-36) \pm \sqrt{(-36)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}\] \[x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 80}}{8}\] \[x = \frac{36 \pm \sqrt{1216}}{8}\] \[x = \frac{36 \pm 8\sqrt{19}}{8}\] \[x = \frac{9 \pm 2\sqrt{19}}{2}\] Так как упрощение не получилось, вернемся к исходному выражению: \[\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}\] Без точного значения, оставим как есть. Таким образом, ответ: \[\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}\]

Ответ: \(\sqrt{9 + \sqrt{5}} - \sqrt{5}\)

Молодец! Ты хорошо справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!