\sqrt{\frac{(x + 2)!}{x!}} = \sqrt{3!} \times 7 x =?

Для решения данного уравнения, упростим выражение, используя свойства факториала и квадратного корня.

Шаг 1: Упростим выражение под корнем:

$$\sqrt{\frac{(x + 2)!}{x!}} = \sqrt{\frac{(x + 2) \times (x + 1) \times x!}{x!}} = \sqrt{(x + 2)(x + 1)}$$

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения:

$$\sqrt{3!} \times 7 = \sqrt{3 \times 2 \times 1} \times 7 = \sqrt{6} \times 7$$

Шаг 3: Теперь уравнение выглядит так:

$$\sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 7\sqrt{6}$$

Шаг 4: Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(x + 2)(x + 1) = (7\sqrt{6})^2$$ $$(x + 2)(x + 1) = 49 \times 6$$ $$(x + 2)(x + 1) = 294$$

Шаг 5: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$$x^2 + 3x + 2 = 294$$ $$x^2 + 3x - 292 = 0$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В нашем случае a = 1, b = 3, c = -292:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-292)}}{2 \times 1}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 1168}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1177}}{2}$$

Очевидно, что что-то пошло не так, потому что корень из 1177 не извлекается нацело, и мы не получаем целого числа.

Давай перепроверим условие:

$$\sqrt{\frac{(x + 2)!}{x!}} = \sqrt{3!} \times 7$$

Если в условии опечатка и должно быть так:

$$\sqrt{\frac{(x + 2)!}{x!}} = \sqrt{3! \times 7}$$

Тогда пересчитаем с учетом нового условия:

Шаг 1:

$$\sqrt{(x + 2)(x + 1)} = \sqrt{6 \times 7}$$ $$\sqrt{(x + 2)(x + 1)} = \sqrt{42}$$

Шаг 2: Возведем в квадрат обе части:

$$(x + 2)(x + 1) = 42$$ $$x^2 + 3x + 2 = 42$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-40)}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm 13}{2}$$

Шаг 4: Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Поскольку факториал определен только для неотрицательных целых чисел, x должен быть неотрицательным. Поэтому выбираем x = 5.

Ответ: 5