\sqrt{2} \cos 2x \leqslant 1;

Привет! Разбираемся с тригонометрическим неравенством. Сейчас я тебе всё разложу по полочкам.

Решение:

1. Выразим косинус: \[ \sqrt{2} \cos 2x \leqslant 1 \] \[ \cos 2x \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \cos 2x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2} \]
2. Определим значения 2x: \( \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( 2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
3. Решим неравенство: Так как косинус меньше или равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leqslant 2x \leqslant 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leqslant 2x \leqslant \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]
4. Найдем x: Разделим все части неравенства на 2: \[ \frac{\pi}{8} + \pi k \leqslant x \leqslant \frac{7\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что значения \(x\) находятся в пределах, где косинус меньше или равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставь несколько значений \(k\), чтобы проверить, что интервалы решения логичны.

Запомни: При решении тригонометрических неравенств всегда полезно представлять себе единичную окружность и значения косинуса и синуса в различных точках.