\sqrt{3} \operatorname{scu} 6x-3\cos 6x=0\newline x\in[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]

Преобразуем уравнение:

$$ \sqrt{3} \sin 6x - 3\cos 6x = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} \cos 6x = 0 $$

Представим коэффициенты при \(\sin 6x\) и \(\cos 6x\) как значения косинуса и синуса некоторого угла \(\phi\):

$$ \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \phi = \frac{3}{2} $$

Получаем, что \(\phi = \frac{\pi}{6}\), то есть \(\frac{\pi}{6} = \arcsin{\frac{3}{2}}\), но это не имеет смысла, так как \(\arcsin\) может принимать значения только от -1 до 1.

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\):

$$ \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \sin 6x - \frac{3}{2\sqrt{3}} \cos 6x = 0 $$

$$ \frac{1}{2} \sin 6x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 6x = 0 $$

Теперь \(\cos \phi = \frac{1}{2}\), \(\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(\phi = \frac{\pi}{3}\).

$$ \cos \frac{\pi}{3} \sin 6x - \sin \frac{\pi}{3} \cos 6x = 0 $$

$$ \sin(6x - \frac{\pi}{3}) = 0 $$

Решения уравнения имеют вид:

$$ 6x - \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ 6x = \frac{\pi}{3} + \pi n $$

$$ x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Теперь нам нужно найти решения, которые лежат в интервале \([-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]\).

$$ -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} n \le \frac{\pi}{3} $$

$$ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{18} + \frac{1}{6} n \le \frac{1}{3} $$

$$ -\frac{1}{3} - \frac{1}{18} \le \frac{1}{6} n \le \frac{1}{3} - \frac{1}{18} $$

$$ -\frac{6}{18} - \frac{1}{18} \le \frac{1}{6} n \le \frac{6}{18} - \frac{1}{18} $$

$$ -\frac{7}{18} \le \frac{1}{6} n \le \frac{5}{18} $$

$$ -\frac{7}{3} \le n \le \frac{5}{3} $$

$$ -2.33 \le n \le 1.66 $$

Целые значения \(n\), удовлетворяющие этому неравенству: \(n = -2, -1, 0, 1\).

Тогда решения:

$$ x_1 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} (-2) = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{18} - \frac{6\pi}{18} = -\frac{5\pi}{18} $$

$$ x_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} (-1) = \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{18} - \frac{3\pi}{18} = -\frac{2\pi}{18} = -\frac{\pi}{9} $$

$$ x_3 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} (0) = \frac{\pi}{18} $$

$$ x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} (1) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{18} + \frac{3\pi}{18} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9} $$

Ответ: \(-\frac{5\pi}{18}, -\frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{18}, \frac{2\pi}{9}\)