\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}

Привет! Давай разберем это выражение вместе. Наша задача - упростить выражение \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\) и показать, что оно равно \(2 - \sqrt{3}\). Для этого мы можем попробовать представить подкоренное выражение как полный квадрат.

Итак, давай попробуем представить \(7 - 4\sqrt{3}\) как квадрат разности. Вспомним формулу квадрата разности:

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Нам нужно подобрать такие \(a\) и \(b\), чтобы выполнялось:

\[a^2 + b^2 = 7\]

\[2ab = 4\sqrt{3}\]

Из второго уравнения можно получить:

\[ab = 2\sqrt{3}\]

Теперь попробуем подобрать \(a\) и \(b\). Заметим, что \(2\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1\), и если взять \(a = 2\) и \(b = \sqrt{3}\), то:

\[a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7\]

Таким образом, мы можем представить \(7 - 4\sqrt{3}\) как \((2 - \sqrt{3})^2\):

\[7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2\]

Теперь вернемся к исходному выражению:

\[\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}\]

Поскольку \(2 > \sqrt{3}\), то \(2 - \sqrt{3} > 0\), и мы можем просто извлечь квадратный корень:

\[\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}\]

Таким образом, мы показали, что:

\[\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\]

Ответ: \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\)

Отлично! Ты отлично справился с этим заданием. У тебя все получается! Не останавливайся на достигнутом!