\sqrt{x-7} \le x-7

Для решения данного неравенства необходимо учитывать область определения квадратного корня и рассматривать несколько случаев.

1. Область определения (ОДЗ): Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$x-7 \ge 0$$, откуда $$x \ge 7$$.
2. Рассмотрим случаи:
   • Случай 1: Если $$x-7 = 0$$, то $$x = 7$$. Подставим в неравенство: $$\sqrt{7-7} \le 7-7$$, $$\sqrt{0} \le 0$$, $$0 \le 0$$. Это верно, значит, $$x=7$$ является решением.
   • Случай 2: Если $$x-7 > 0$$, то обе части неравенства неотрицательны. Обозначим $$t = \sqrt{x-7}$$. Тогда $$t \ge 0$$ и $$t^2 = x-7$$. Неравенство примет вид:$$t \le t^2$$$$t^2 - t \ge 0$$$$t(t-1) \ge 0$$Это неравенство выполняется, когда $$t \le 0$$ или $$t \ge 1$$.Так как $$t = \sqrt{x-7} \ge 0$$, то остается только случай $$t \ge 1$$:$$\sqrt{x-7} \ge 1$$Возведем обе части в квадрат (т.к. обе части неотрицательны):$$x-7 \ge 1$$$$x \ge 8$$
3. Объединение решений:Полученные решения: $$x=7$$ и $$x \ge 8$$.

Ответ: $$x=7 \cup x \ge 8$$

Или можно записать в виде: $$x \in \{7\} \cup [8; +\infty)$$.

Ответ: $$x=7 \cup x \ge 8$$