\sqrt{x+9} - \sqrt{32-x} = 1

Для решения уравнения \(\sqrt{x+9} - \sqrt{32-x} = 1\), выполним следующие шаги:

1. Перенесем один из корней в правую часть уравнения:
   $$\sqrt{x+9} = \sqrt{32-x} + 1$$
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   $$(\sqrt{x+9})^2 = (\sqrt{32-x} + 1)^2$$
   $$x+9 = (32-x) + 2\sqrt{32-x} + 1$$
   $$x+9 = 33-x + 2\sqrt{32-x}$$
3. Перенесем все члены, кроме корня, в левую часть:
   $$2x - 24 = 2\sqrt{32-x}$$
   $$x - 12 = \sqrt{32-x}$$
4. Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
   $$(x-12)^2 = (\sqrt{32-x})^2$$
   $$x^2 - 24x + 144 = 32-x$$
5. Перенесем все члены в левую часть:
   $$x^2 - 23x + 112 = 0$$
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
   $$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112 = 529 - 448 = 81$$
7. Найдем корни:
   $$x_1 = \frac{23 + \sqrt{81}}{2} = \frac{23 + 9}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
   $$x_2 = \frac{23 - \sqrt{81}}{2} = \frac{23 - 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
8. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
   
   • Проверка для x = 16:
     $$\sqrt{16+9} - \sqrt{32-16} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$
     Корень x = 16 подходит.
   • Проверка для x = 7:
     $$\sqrt{7+9} - \sqrt{32-7} = \sqrt{16} - \sqrt{25} = 4 - 5 = -1$$
     Корень x = 7 не подходит.

Следовательно, единственный корень уравнения: x = 16.

Ответ: 16