5^{1.3} \cdot .125^{\frac{1}{3}} 25^{\frac{1}{4}}

Для решения данного выражения, необходимо привести все числа к одному основанию. Число 5 является простым числом, поэтому оставим его как есть. Число 0.125 можно представить как степень числа 5, а именно $$0.125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{(5^{\log_5{2}})^3} = 5^{-3\log_5{2}}$$. Число 25 также можно представить как степень числа 5, а именно $$25 = 5^2$$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$$\frac{5^{1.3} \cdot (5^{-3\log_5{2}})^{\frac{1}{3}}}{(5^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{5^{1.3} \cdot 5^{-3\log_5{2} \cdot \frac{1}{3}}}{5^{2 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{5^{1.3} \cdot 5^{-\log_5{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{5^{1.3} \cdot 5^{-\log_5{2}}}{5^{0.5}}$$

Далее, используя свойства степеней, получим:

$$5^{1.3 - \log_5{2} - 0.5} = 5^{0.8 - \log_5{2}}$$

Зная, что $$0.125 = (\frac{1}{2})^1$$ можно представить исходное выражение в виде:

$$\frac{5^{1.3} \cdot (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{4}}} = \frac{5^{1.3} \cdot \frac{1}{2}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{5^{1.3} \cdot 2^{-1}}{5^{0.5}} = 5^{1.3-0.5} \cdot 2^{-1} = 5^{0.8} \cdot 2^{-1} = \frac{5^{0.8}}{2}$$

Или так:

$$\frac{5^{1.3} \cdot 0.125^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{4}}} = \frac{5^{1.3} \cdot (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}}{(5^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{5^{1.3} \cdot \frac{1}{2}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{5^{1.3} \cdot 2^{-1}}{5^{0.5}} = 5^{1.3} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{-0.5} = 5^{1.3-0.5} \cdot 2^{-1} = 5^{0.8} \cdot 2^{-1} = \frac{5^{0.8}}{2}$$

Можно упростить выражение. $$0.125 = \frac{1}{8}$$. Тогда: $$\sqrt[3]{0.125} = \frac{1}{2}$$. $$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$$.

Получаем:

$$\frac{5^{1.3} \cdot \frac{1}{2}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{5^{1.3}}{2 \cdot 5^{0.5}} = \frac{5^{1.3}}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{5^{0.8}}{2}$$

Если требуется найти числовое значение, то:

$$\frac{5^{0.8}}{2} \approx \frac{3.6239}{2} \approx 1.812$$

Ответ: $$\frac{5^{0.8}}{2}$$