32^(n+5) / 18^(n+3) * 2^(n-2)

Для решения данного выражения необходимо упростить его, используя свойства степеней.

1. Представим числа 32 и 18 как степени простых чисел: $$32 = 2^5$$ $$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$$
2. Перепишем выражение с учетом этих представлений: $$\frac{(2^5)^{n+5}}{(2 \cdot 3^2)^{n+3}} \cdot 2^{n-2}$$
3. Применим свойство степени степени: $$(a^b)^c = a^{b \cdot c}$$ $$\frac{2^{5(n+5)}}{2^{n+3} \cdot (3^2)^{n+3}} \cdot 2^{n-2}$$ $$\frac{2^{5n+25}}{2^{n+3} \cdot 3^{2(n+3)}} \cdot 2^{n-2}$$ $$\frac{2^{5n+25}}{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}} \cdot 2^{n-2}$$
4. Сгруппируем степени с одинаковым основанием: $$\frac{2^{5n+25} \cdot 2^{n-2}}{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}$$
5. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^b \cdot a^c = a^{b+c}$$ $$\frac{2^{5n+25+n-2}}{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}$$ $$\frac{2^{6n+23}}{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}$$
6. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$$ $$2^{6n+23-(n+3)} \cdot \frac{1}{3^{2n+6}}$$ $$2^{6n+23-n-3} \cdot \frac{1}{3^{2n+6}}$$ $$2^{5n+20} \cdot \frac{1}{3^{2n+6}}$$
7. Представим в виде дроби: $$\frac{2^{5n+20}}{3^{2n+6}}$$
8. Разделим показатели степеней на множители: $$\frac{2^{5(n+4)}}{3^{2(n+3)}}$$ $$\frac{(2^5)^{n+4}}{(3^2)^{n+3}}$$ $$\frac{32^{n+4}}{9^{n+3}}$$

Ответ: $$\frac{32^{n+4}}{9^{n+3}}$$