2^{2x+1}-2^{x+3}-2\over 2^x-4 + {6 \over 2 \cdot 2^{x-1}-8} \ge 2^{x+1}.

Ответ: x \(\in\) (-∞; 2) U [3; +∞)

Пошаговое решение:

1. Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: \[{2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x - 2 \over 2^x - 4} + {6 \over 2^x - 8} \ge 2 \cdot 2^x.\]
2. Введём замену \(t = 2^x\), тогда неравенство примет вид: \[{2t^2 - 8t - 2 \over t - 4} + {6 \over t - 8} \ge 2t.\]
3. Приведём к общему знаменателю: \[{2t^2 - 8t - 2 \over t - 4} + {6 \over t - 8} - 2t \ge 0.\] Общий знаменатель \((t - 4)(t - 8)\), тогда: \[{(2t^2 - 8t - 2)(t - 8) + 6(t - 4) - 2t(t - 4)(t - 8) \over (t - 4)(t - 8)} \ge 0.\]
4. Раскроем скобки и упростим числитель: \[{2t^3 - 16t^2 - 8t^2 + 64t - 2t + 16 + 6t - 24 - 2t(t^2 - 12t + 32) \over (t - 4)(t - 8)} \ge 0,\] \[{2t^3 - 24t^2 + 62t - 8 - 2t^3 + 24t^2 - 64t \over (t - 4)(t - 8)} \ge 0,\] \[{-2t - 8 \over (t - 4)(t - 8)} \ge 0,\] \[{-2(t + 4) \over (t - 4)(t - 8)} \ge 0,\] \[{{t + 4} \over (t - 4)(t - 8)} \le 0.\]
5. Решим неравенство методом интервалов. Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой:
   • Нули числителя: \(t = -4\).
   • Нули знаменателя: \(t = 4\) и \(t = 8\).

6. Вернёмся к переменной \(x\):
   • \(2^x \le -4\) - решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
   • \(4 < 2^x < 8\), что можно записать как \(2^2 < 2^x < 2^3\). Тогда \(2 < x < 3\).
7. Определим область допустимых значений исходного неравенства:
   • \(2^x - 4
     e 0 \Rightarrow 2^x
     e 4 \Rightarrow x
     e 2\).
   • \(2 \cdot 2^{x-1} - 8
     e 0 \Rightarrow 2^x - 8
     e 0 \Rightarrow 2^x
     e 8 \Rightarrow x
     e 3\).
8. Учитывая ОДЗ, окончательное решение: \[x \in (-\infty; 2) \cup [3; +\infty).\]

Ответ: x \(\in\) (-∞; 2) U [3; +∞)