2/3 © В правильной 4хугол пирамиде высота равна 6, боковая грань наклонена к плоскати основания под ∠45°. Найти ŠS.n., Sn.n, V.

По условию дано:

• Правильная четырехугольная пирамида
• Высота пирамиды (h) = 6
• Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°

Требуется найти:

• Площадь боковой поверхности (S.б.п.)
• Площадь полной поверхности (Sп.п.)
• Объем (V)

Пошаговое решение:

1. Найдем сторону основания (a)

   Так как боковая грань наклонена к основанию под углом 45°, то высота пирамиды, половина стороны основания и апофема образуют прямоугольный треугольник с углом 45°. Следовательно, половина стороны основания равна высоте.

   \[\frac{a}{2} = h\]

   \[a = 2h\]

   \[a = 2 \cdot 6 = 12\]

2. Найдем площадь основания (Sосн)

   Основание – квадрат, поэтому:

   \[S_{осн} = a^2\]

   \[S_{осн} = 12^2 = 144\]

3. Найдем апофему (l)

   Апофема – это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой, апофема является гипотенузой, а высота и половина стороны основания – катетами. Т.к. угол между апофемой и основанием 45°, то апофема равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 6.

   \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}\]

   \[l = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

4. Найдем площадь боковой поверхности (Sбок)

   Площадь боковой поверхности равна полупериметру основания, умноженному на апофему.

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l\]

   Периметр основания \[P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12 = 48\]

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}\]

5. Найдем площадь полной поверхности (Sполн)

   Площадь полной поверхности – это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

   \[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}\]

   \[S_{полн} = 144\sqrt{2} + 144 = 144(1 + \sqrt{2})\]

6. Найдем объем пирамиды (V)

   Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

   \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\]

   \[V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = 288\]

Ответ: Площадь боковой поверхности: \(144\sqrt{2}\); площадь полной поверхности: \(144(1 + \sqrt{2})\); объем: 288.