30° 45° 60° α √2 1 √3 sin a 2 2 2 √3 √2 1 cos 80. 2 2 2 √3 1 tg a √3 3 Задачи 697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC=8, AB=17; 6) BC=21. АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25. 698 Постройте угол а, если: a) tga=; 2 3. 6) tg a=; 4 в) cos a = 0,2; д) sin a = 1 2 : e) sin a = 0,4. r) cos a=; 599 Найдите: 1 2' √3 2 6) sina utga, если cos Q= 4 3 a) sina n tg a, если cos a = ; г) cos a n tga, если sina=1. в) cosa и tg a, если sin a = 00 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в, а противолежащий угол равен В. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через в и В. б) Найди- те их значения, если b = 10 см, В= 50°. 01 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в а прилежащий к нему угол равен с. а) Выразите второй ка тет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через ви а. б) Найдите их значения, если в = 12 см, а = 42°. 12 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один острых углов равен с. Выразите второй острый угол и катеты через с и с и найдите их значения, если с = 24 см, aq=35. 13 Катеты прямоугольного треугольника равны а и в. Выразите через а и в гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15. 4 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если: а) боковая сторона равна в: 6) осноBARRE равно а.

Ответ: Решения ниже

697.

• а) BC = 8, AB = 17

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\]

\[cos A = \frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{AB} = \frac{\sqrt{17^2 - 8^2}}{17} = \frac{\sqrt{289 - 64}}{17} = \frac{\sqrt{225}}{17} = \frac{15}{17}\]

\[tg A = \frac{BC}{\sqrt{AB^2 - BC^2}} = \frac{8}{15}\]

\[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\]

\[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\]

\[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}\]

• б) BC = 21, AC = 20

\[AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29\]

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}\]

\[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\]

\[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}\]

\[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\]

\[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}\]

\[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}\]

• в) BC = 1, AC = 2

\[AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

\[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

\[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}\]

\[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

\[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

\[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2\]

• г) AC = 24, AB = 25

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\]

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\]

\[cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\]

\[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}\]

\[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}\]

\[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}\]

\[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}\]

698.

• a) tg α = 1/2

Постройте угол, тангенс которого равен 1/2. Можно воспользоваться таблицами или калькулятором для нахождения угла.

• б) tg α = 3/4

Постройте угол, тангенс которого равен 3/4. Можно воспользоваться таблицами или калькулятором для нахождения угла.

• в) cos α = 0,2

Постройте угол, косинус которого равен 0,2. Можно воспользоваться таблицами или калькулятором для нахождения угла.

• г) cos α = 2/3

Постройте угол, косинус которого равен 2/3. Можно воспользоваться таблицами или калькулятором для нахождения угла.

• д) sin α = 1/2

sin α = 1/2, следовательно α = 30°.

• е) sin α = 0,4

Постройте угол, синус которого равен 0,4. Можно воспользоваться таблицами или калькулятором для нахождения угла.

699.

• a) sin α и tg α, если cos α = 1/2

Если cos α = 1/2, то α = 60°.

\[sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[tg 60° = \sqrt{3}\]

• б) sin α и tg α, если cos α = 2/3

\[sin α = \sqrt{1 - cos^2 α} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

\[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

• в) cos α и tg α, если sin α = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Если sin α = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), то α = 60°.

\[cos 60° = \frac{1}{2}\]

\[tg 60° = \sqrt{3}\]

• г) cos α и tg α, если sin α = 1/4

\[cos α = \sqrt{1 - sin^2 α} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]

\[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}\]

700.

a) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β.

Пусть b - катет, β - противолежащий угол.

Другой катет (a):

\[a = b \cdot ctg β\]

Гипотенуза (c):

\[c = \frac{b}{sin β}\]

Противолежащий угол: 90° - β

б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.

\[a = 10 \cdot ctg 50° ≈ 10 \cdot 0.839 ≈ 8.39 \text{ см}\]

\[c = \frac{10}{sin 50°} ≈ \frac{10}{0.766} ≈ 13.05 \text{ см}\]

701.

a) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α.

Пусть b - катет, α - прилежащий угол.

Второй катет (a):

\[a = b \cdot tg α\]

Гипотенуза (c):

\[c = \frac{b}{cos α}\]

Прилежащий угол: α

б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

\[a = 12 \cdot tg 42° ≈ 12 \cdot 0.900 ≈ 10.80 \text{ см}\]

\[c = \frac{12}{cos 42°} ≈ \frac{12}{0.743} ≈ 16.15 \text{ см}\]

702.

Выразите второй острый угол и катеты через c и α и найдите их значения, если c = 24 см, α = 35°.

Пусть c - гипотенуза, α - один из острых углов.

Второй острый угол (β):

\[β = 90° - α = 90° - 35° = 55°\]

Катет, противолежащий углу α (a):

\[a = c \cdot sin α = 24 \cdot sin 35° ≈ 24 \cdot 0.574 ≈ 13.78 \text{ см}\]

Катет, прилежащий к углу α (b):

\[b = c \cdot cos α = 24 \cdot cos 35° ≈ 24 \cdot 0.819 ≈ 19.66 \text{ см}\]

703.

Выразите через a и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при a = 12, b = 15.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Гипотенуза (c):

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} ≈ 19.21\]

Тангенс угла, противолежащего катету a (tg α):

\[tg α = \frac{a}{b} = \frac{12}{15} = 0.8\]

Тангенс угла, противолежащего катету b (tg β):

\[tg β = \frac{b}{a} = \frac{15}{12} = 1.25\]

704.

а) боковая сторона равна b:

Пусть b - боковая сторона равнобедренного треугольника.

Угол при основании = α

Площадь: \[S = \frac{1}{2} b^2 sin α\]

б) основание равно a.

Высота (h): \[h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}\]

Площадь: \[S = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - (a/2)^2}\]

Ответ: Решения выше